Projektuppgift

Envariabelsanalys

Högskolan i Halmstad

Dawid Ejdeholm, Jacob Harsten & Jonatan Jönsson

Uppgift 1

a) Spänning (Subscript[u, c]) över kondensatorn och strömmen igenom resistor vid tiden t.

matserie =Import["matserie.dat"];
Clear[a,b,c,d,e,R];

ListLinePlot[matserie]

(Subscript[u, R]) + u = 0 ⇔ Ri + u = 0 ⇔ i + (u/R)= 0
R = 20.0*(10^9) Ω
(Subscript[C, 0]) = sökta kapacitansen.
i(t) = q’(t) = (Subscript[C, 0])u’(t)
(Subscript[C, 0]) kan nu bestämmas genom att lösningen
u(t) anpassas till mätserien.

Q = Cu 
u = (Q/C)

Urladdning av kodensator
Spänning:
(Subscript[u, c])’(t)+(1/Rc)*(Subscript[u, c])(t) = 0
(Subscript[u, c])(0) = 0

DSolve[u'[t]+(1/(R*c))*u[t]==0,u[t],t]

(Sätter (1/(c*R)) = b)

FindFit[matserie,a*(E^(-b*t)),{a,b},t]

R = 20*(10^9);
b = 1.52874;
U = 251.707*(E^(-b*t));
i = U/R

Svar: 
i(t) = 1.258535`*^-8 (e^(-1.5287401403233538` t)) A
(Subscript[U, c])(t)=251.707*(e^(-1.52874t)) V

Plot[1.258454*(10^(-8))*(E^(-1.52874t)),{t,0,6}]

b) Kondensatorns kapacitans (Subscript[C, 0]).

i= 251.707*(E^(-t/(c*R)));
R = 20*(10^9);
FindFit[matserie,i,c,t]

c) Den tid (Subscript[t, 1]) det tar innan kondensatorns laddning minskat till hälften.

Formel Q=C×U

c = 3.27066×(10^(-11));
u = 251.707;
Qh=((c*u)/2);
Uh=(Qh/c);
Uh2 = 251.707×(E^(-1.52874t));
Solve[Uh2 == Uh,{t}]

Svar: 0.453411 sekunder innan kondensatorns laddning minskat till hälften.

d) Effektutvecklingen i resistorn vid tiden t

Formel P = (I^2)×R=((U^2)/R)

c = 3.27066×(10^(-11));
R = 20*(10^9);
u = 251.707×(E^(((-28.064)/18.3576)t));
P=((u^2)/R)

Svar: 3.16782×(10^(-6))(e^(-3.05748t)) W

e) Värmeenergin som utvecklats i resistorn under tiden (Subscript[t, 1]) s och totala värmeenergin som utvecklats
då kondensatorn urladdats helt. Använd resultatet i (d).

Formel 
P = J/S
J = P × S
J = ∫P(t)dt

(Subscript[J, 1])=(∫_0^0.453411)P\[DifferentialD]t
(Subscript[J, 2])=(∫_0^6)P\[DifferentialD]t

Svar: 
När halva tiden har gått är värmeenergin 7.77067×(10^(-7))J.
När hela tiden har gått är värmeenergin 1.03609×(10^(-6))J.

Uppgift 2

a) Förklara hur seriekretsen kan fungera som ett tjuvlarm.

Då tjuvhanden närmar sig kondensatorn ökar kapacitansen från (Subscript[C, 0]) till C. En ström kommer då att
börja flyta i kretsen. När tjuvhanden kommer nära tjuvlarmet så ökar kapacitansen och om ampermetern över stiger 1.00
µA under minst 250 µs så går sirenen igång.

b) Bestäm de värden på serieresistansen som uppfyller specifikationerna ovan

Clear[a,b,c,d,e,R,q,r,t,c0];

DSolve[{q'[t]+(q[t]/(r*c))==(e/r),q[0]==c0*e},q[t],t]

D[e (E^(-(t/(c r)))) (-c+c0+c (E^(t/(c r)))),t]

i = 1.00×(10^(-6));
t = 250×(10^(-6));
e = 250;
c0= 3.27066×(10^(-11));
c = (c0*1.10);
Solve[(e/r)-((e (E^(-(t/(c r)))) (-c+c0+c (E^(t/(c r)))))/(c r))==i]

Svar:
r->3.999659107668294`*^6
r->1.3670965420179639`*^7

c) Förklara vad som händer om man väljer för stor respektive för liten resistans

Har man för liten resistans laddas kondensatorn upp för fort. Har man för stor resistans så kommer man aldrig upp i 1.00 µA.

Uppgift 3

a) Hur små kapacitansförändringar kan man mäta med ovanstående utrustning?
Först hitta R sedan hitta C

i = 1.00×(10^(-6)); 
t = 250×(10^(-6));
e = 250;
c0=3.27066×(10^(-11));
c = (c0*1.10);
r0 = 3.99966×(10^6);
r1 = 1.3671×(10^7);
q0 = c0*e;
u = q0/c0;

FindMaximum[0.1*u(( (E^((-t)/(r*c0))))/r),{r, r0, r1}]

Plot[{0.1*u(( (E^((-t)/(r*c0))))/r)==i,i == 1.00×(10^(-6))},{r,r0,r1}]

r = 7.59273×(10^6);
Solve[C*u(( (E^((-t)/(r*c0))))/r)==i,{C}]

Svar: 
Man kan mäta 8.3113%

b) Vilken spänning krävs om larmet ska kunna detektera kapacitansförändringar ner till 5% ?

Vi letar efter Ux.
Q = U × C

Solve[0.05*(( ux*(E^((-t)/(r*c0))))/r)==i,ux]

Svar: 415.565 V